[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2 · 3 2 · 3 2 · 3 3
wzory
" " " "
symbole
-(-4) + 4 13 4 + 4 13 2(2 + 2 13) 2 + 2 13
x2= = = =
komentarze
2 · 3 2 · 3 2 · 3 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
10
2
x + 3
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy dziedzinÄ™: D : x " R\{-3}
spis treści
Przenosimy wszystko na lewÄ… stronÄ™:
wzory
10 -2x + 4
symbole
- 2 0 po uproszczeniu: 0
x + 3 x + 3
komentarze
Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-2x + 4)(x + 3) 0
-2(x - 2)(x + 3) 0
pierwiastki: x1 = 2 x2 = -3
mymailtome krotność: 1 1
matma235@o2.pl
Liczba -3 nie należy do dziedziny co zaznaczamy
x " (-3, 2
10
- 2 0
x + 3
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
10 2(x + 3)
spis treści - 0
x + 3 x + 3
wzory
10 - 2(x + 3)
symbole
x + 3
komentarze
10 - 2x - 6
x + 3
-2x + 4
x + 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2x 3x + 2
x + 1 x + 4
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy dziedzinÄ™: D : x " R\{-1, -4}
spis treści
Przenosimy wszystko na lewÄ… stronÄ™:
wzory
2x 3x + 2 -x2 + 3x - 2
symbole
-
x + 1 x + 4 (x + 1)(x + 4)
komentarze
Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-x2 + 3x - 2)(x + 1)(x + 4)
-x2 + 3x - 2 = -(x - 1)(x - 2)
mymailtome
-(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 4)
matma235@o2.pl
pierwiastki: x1 = 2 x2 = 1 x3 = -1 x4 = -4
krotność: 1 1 1 1
Liczby -1, -4 nie należą do dziedziny co zaznaczymy . Przy liczbach 1, -1 też jest ze
względu na znak
x " (- ", -4) *" (-1, 1) *" (2, ")
2x 3x + 2
-
x + 1 x + 4
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
2x(x + 4) (3x + 2)(x + 1)
spis treści -
(x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 1)
wzory
2x(x + 4) - (3x + 2)(x + 1)
symbole
(x + 1)(x + 4)
komentarze
2x2 + 8x - (3x2 + 3x + 2x + 2)
(x + 1)(x + 4)
2x2 + 8x - 3x2 - 3x - 2x - 2
(x + 1)(x + 4)
-x2 + 3x - 2
(x + 1)(x + 4)
mymailtome
matma235@o2.pl
-x2 + 3x - 2
" = 32 - 4 · (-1) · (-2) = 9 - 8 = 1
" "
" = 1 = 1
-3 - 1 -4
spis treści
x1= = = 2
2 · (-1) -2
wzory
-3 + 1 -2
symbole
x2= = = 1
2 · (-1) -2
komentarze
postać iloczynowa: -(x - 2)(x - 1)
-x2 + 3x - 2 = -(x - 2)(x - 1)
mymailtome
matma235@o2.pl
Potęgowanie
Wzory: Przykłady:
a0 = 1 20 = 1 50 = 1 (-3)0 = 1
a1 = a 21 = 2 51 = 1 (-3)1 = -3
spis treści
1 1 1 1
a-x = 2-1 = 5-4 = (-3)-8 =
ax 2 54 (-3)8
wzory
x
symbole
a -x b
3 1 10 7
= (2 )-1 = ( )-3 = (2 )3 (- )-2 = (- )2
3 2 2 1 7 10
komentarze b a
"
"
1 1
n
n
a = a 92 = 9 = 3
"
1
3
83 = 8 = 2
" "
"
m 3
n
n 3
n
a = ( a)m = am 92 = ( = 33 = 27
"9) " "
2
3
3 3
43 = ( 4)2 = 42 = 16
ax · ay = ax+y 23 · 25 = 23+5 = 28
mymailtome
34 · 3-3 = 34+(-3) = 31 = 3
matma235@o2.pl
ax
25
= ax-y = 25-3 = 22 = 4
23
ay
34 1 1
= 34-6 = 3-2 = =
36 32 9
(ax)y = ax·y (23)4 = 23·4 = 212 = 4096
1 1
(32 2 )2 = 32 2 ·2 = 35 = 243
" "
(a · b)x = ax · bx (3 5)2 = 32 · ( 5)2 = 9 · 5 = 45
a x ax
32 9
= (3)2 = =
5 52 25
b bx
"
"
( 3)2 3
3
( )2 = =
2 22 4
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza o podstawie a > 0:
y = ax
spis treści
Dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca:
wzory
symbole
Przykłady:
y = 3x
komentarze
y = 5x
y = (21 )x
2
Dla 0
Przykłady:
y = (1)x
mymailtome
2
matma235@o2.pl y = (2)x
3
y = (0, 4)x
Dla a = 1 funkcja wykładnicza jest stała:
y = 1
funkcja wykładnicza jest różnowartościowa
Funkcja wykładnicza:
Oblicz:
(1 )0 = 1 2-3 (2)-2 (22)-2
3 3 3
1 1 3
(1, 5)-3 812 (0, 04)2 162
2 3
spis treści
83 82 (0, 16)-1,5
wzory
Oblicz:
symbole 1 1 1 2
1
2 3
23 · 2 · 2-2 2 · 43 · 2-4 43 · 83 ·
4
"
komentarze 1 1 1
82 · 32 93 · 272
"
41,5
3
Rozwiąż równania:
" "
4x+2 = 83x-1 (0, 25)2x-1 = ( 8)x+4 92x+3 = 3 27
Rozwiąż nierówności:
33x-1
1-x
"
2 4x-2 2x-3 "
mymailtome
9 2 2
> 4( 8)x-3
3 4 16
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
symbole
1
= 1
komentarze 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
2-3
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
wzory
1 1
2-3 = =
symbole
23 8
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
-2 2
symbole
2 3 9 1
= = = 2
komentarze 3 2 4 4
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
2
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
-2 -2 2
symbole
2 8 3 9
2 = = =
komentarze 3 3 8 64
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1, 5-3
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
-3 -3 3
wzory
1 3 2 8
1, 5-3 = 1 = = =
symbole
2 2 3 27
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
812
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
1
wzory
812 = 81 = 9
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
(0, 04)2
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 "
2
wzory
1 4 4 4 2
symbole "
(0, 04)2 = = = =
100 100 10
100
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
162
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3
wzory
3
162 = 16 = 43 = 64
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
2
83
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 2
wzory
2
3
83 = 8 = 22 = 4
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
82
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3 " 2 " [ Pobierz całość w formacie PDF ]
zanotowane.pl doc.pisz.pl pdf.pisz.pl szkicerysunki.xlx.pl
2 · 3 2 · 3 2 · 3 3
wzory
" " " "
symbole
-(-4) + 4 13 4 + 4 13 2(2 + 2 13) 2 + 2 13
x2= = = =
komentarze
2 · 3 2 · 3 2 · 3 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
10
2
x + 3
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy dziedzinÄ™: D : x " R\{-3}
spis treści
Przenosimy wszystko na lewÄ… stronÄ™:
wzory
10 -2x + 4
symbole
- 2 0 po uproszczeniu: 0
x + 3 x + 3
komentarze
Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-2x + 4)(x + 3) 0
-2(x - 2)(x + 3) 0
pierwiastki: x1 = 2 x2 = -3
mymailtome krotność: 1 1
matma235@o2.pl
Liczba -3 nie należy do dziedziny co zaznaczamy
x " (-3, 2
10
- 2 0
x + 3
Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
10 2(x + 3)
spis treści - 0
x + 3 x + 3
wzory
10 - 2(x + 3)
symbole
x + 3
komentarze
10 - 2x - 6
x + 3
-2x + 4
x + 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Rozwiąż równanie:
2x 3x + 2
x + 1 x + 4
RozwiÄ…zanie:
Wyznaczamy dziedzinÄ™: D : x " R\{-1, -4}
spis treści
Przenosimy wszystko na lewÄ… stronÄ™:
wzory
2x 3x + 2 -x2 + 3x - 2
symbole
-
x + 1 x + 4 (x + 1)(x + 4)
komentarze
Zamiast ułamka możemy napisać iloczyn. Otrzymujemy
nierówność wielomianową.
(-x2 + 3x - 2)(x + 1)(x + 4)
-x2 + 3x - 2 = -(x - 1)(x - 2)
mymailtome
-(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x + 4)
matma235@o2.pl
pierwiastki: x1 = 2 x2 = 1 x3 = -1 x4 = -4
krotność: 1 1 1 1
Liczby -1, -4 nie należą do dziedziny co zaznaczymy . Przy liczbach 1, -1 też jest ze
względu na znak
x " (- ", -4) *" (-1, 1) *" (2, ")
2x 3x + 2
-
x + 1 x + 4
Sprowadzamy wszystkie ułamki do wspólnego mianownika:
2x(x + 4) (3x + 2)(x + 1)
spis treści -
(x + 1)(x + 4) (x + 4)(x + 1)
wzory
2x(x + 4) - (3x + 2)(x + 1)
symbole
(x + 1)(x + 4)
komentarze
2x2 + 8x - (3x2 + 3x + 2x + 2)
(x + 1)(x + 4)
2x2 + 8x - 3x2 - 3x - 2x - 2
(x + 1)(x + 4)
-x2 + 3x - 2
(x + 1)(x + 4)
mymailtome
matma235@o2.pl
-x2 + 3x - 2
" = 32 - 4 · (-1) · (-2) = 9 - 8 = 1
" "
" = 1 = 1
-3 - 1 -4
spis treści
x1= = = 2
2 · (-1) -2
wzory
-3 + 1 -2
symbole
x2= = = 1
2 · (-1) -2
komentarze
postać iloczynowa: -(x - 2)(x - 1)
-x2 + 3x - 2 = -(x - 2)(x - 1)
mymailtome
matma235@o2.pl
Potęgowanie
Wzory: Przykłady:
a0 = 1 20 = 1 50 = 1 (-3)0 = 1
a1 = a 21 = 2 51 = 1 (-3)1 = -3
spis treści
1 1 1 1
a-x = 2-1 = 5-4 = (-3)-8 =
ax 2 54 (-3)8
wzory
x
symbole
a -x b
3 1 10 7
= (2 )-1 = ( )-3 = (2 )3 (- )-2 = (- )2
3 2 2 1 7 10
komentarze b a
"
"
1 1
n
n
a = a 92 = 9 = 3
"
1
3
83 = 8 = 2
" "
"
m 3
n
n 3
n
a = ( a)m = am 92 = ( = 33 = 27
"9) " "
2
3
3 3
43 = ( 4)2 = 42 = 16
ax · ay = ax+y 23 · 25 = 23+5 = 28
mymailtome
34 · 3-3 = 34+(-3) = 31 = 3
matma235@o2.pl
ax
25
= ax-y = 25-3 = 22 = 4
23
ay
34 1 1
= 34-6 = 3-2 = =
36 32 9
(ax)y = ax·y (23)4 = 23·4 = 212 = 4096
1 1
(32 2 )2 = 32 2 ·2 = 35 = 243
" "
(a · b)x = ax · bx (3 5)2 = 32 · ( 5)2 = 9 · 5 = 45
a x ax
32 9
= (3)2 = =
5 52 25
b bx
"
"
( 3)2 3
3
( )2 = =
2 22 4
Funkcja wykładnicza
Funkcja wykładnicza o podstawie a > 0:
y = ax
spis treści
Dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca:
wzory
symbole
Przykłady:
y = 3x
komentarze
y = 5x
y = (21 )x
2
Dla 0
Przykłady:
y = (1)x
mymailtome
2
matma235@o2.pl y = (2)x
3
y = (0, 4)x
Dla a = 1 funkcja wykładnicza jest stała:
y = 1
funkcja wykładnicza jest różnowartościowa
Funkcja wykładnicza:
Oblicz:
(1 )0 = 1 2-3 (2)-2 (22)-2
3 3 3
1 1 3
(1, 5)-3 812 (0, 04)2 162
2 3
spis treści
83 82 (0, 16)-1,5
wzory
Oblicz:
symbole 1 1 1 2
1
2 3
23 · 2 · 2-2 2 · 43 · 2-4 43 · 83 ·
4
"
komentarze 1 1 1
82 · 32 93 · 272
"
41,5
3
Rozwiąż równania:
" "
4x+2 = 83x-1 (0, 25)2x-1 = ( 8)x+4 92x+3 = 3 27
Rozwiąż nierówności:
33x-1
1-x
"
2 4x-2 2x-3 "
mymailtome
9 2 2
> 4( 8)x-3
3 4 16
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
symbole
1
= 1
komentarze 3
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
2-3
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
wzory
1 1
2-3 = =
symbole
23 8
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
-2 2
symbole
2 3 9 1
= = = 2
komentarze 3 2 4 4
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
-2
2
2
3
RozwiÄ…zanie:
spis treści
Na podstawie wzorów:
wzory
-2 -2 2
symbole
2 8 3 9
2 = = =
komentarze 3 3 8 64
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1, 5-3
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
-3 -3 3
wzory
1 3 2 8
1, 5-3 = 1 = = =
symbole
2 2 3 27
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
812
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
"
1
wzory
812 = 81 = 9
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
1
(0, 04)2
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
1 "
2
wzory
1 4 4 4 2
symbole "
(0, 04)2 = = = =
100 100 10
100
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
162
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3
wzory
3
162 = 16 = 43 = 64
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
2
83
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 2
wzory
2
3
83 = 8 = 22 = 4
symbole
komentarze
mymailtome
matma235@o2.pl
Oblicz:
3
82
RozwiÄ…zanie:
Na podstawie wzorów:
spis treści
" 3 " 2 " [ Pobierz całość w formacie PDF ]